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Anmerkung zum Funktionsbegriff: Eine Funktion zeigt den Zusammenhang zweier Größen, indem die eine als abhängig von der anderen gedacht wird. Diese Abhängigkeit ist formal und wird durch eine Formel ausgedrückt, den Funktionsterm. Die abhängige Größe wird meist mit y oder f(x) bezeichnet, die andere Größe x. Der Funktionsterm gibt jene Formel an, mit der man die abhängige Größe f(x) aus einem x berechnen kann. Alle möglichen Werte von f(x) grafisch dargestellt zeigen den Funktionsverlauf oder Funktionsgraf.

Die Grundidee der Differentialrechnung ist die Untersuchung des Veränderungsverhaltens einer Funktion: Wie stark steigt/fällt ein Funktionsgraf, wo ist ein Maximum oder ein Minimum, wo liegt eine Trendwende vor?

Gemessen wird der Grad der Veränderung mit Hilfe der Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle der Funktion x_o. Steigt die Funktion in einem Bereich stärker/schwächer, ist die Tangentensteigung dort größer/kleiner. Fällt eine Funktion (gelesen von inks nach rechts), dann sind die Tangentensteigungen negativ.

Wir könnten jetzt für jeden Punkt einer Funktion die Tangentensteigung ermitteln: Die einzelnen Tangentensteigungen zeichnen wir in das Diagramm, sie liegen auf einer Funktion, der Tangentensteigungsfunktion. Diese Funktion nennt man 1. Ableitung von f(x): f'(x). Die 1. Ableitung repräsentiert also die Tangentensteigungen von f(x) in jedem Punkt.

Die erste Ableitung als Tangentensteigungsfunktion

Kommentar zur Abbildung

• An der Stelle x₀=1 wird im Punkt P auf der Funktion die Tangente t an die Funktion f (rot) gebildet, diese hat die Steigung k=2.
• Dieser Wert wird an der x-Stelle 1 als y-Wert einer neuen Funktion, der Tangentensteigungsfunktion bzw. ersten Ableitung von f, aufgetragen, hier als Punkt Q mit den Koordinaten ( 1 | 2 ).
• Ermittelt man jetzt mehrere solcher Tangentensteigungen für andere x-Stellen, so liegen die Steigungen auf der ersten Ableitung (hellblau).