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Skizze: Hypothenuse, Gegenkathete, Ankathete bzw. Strahlensatz

Untersucht man diesen Zusammenhang etwas systematischer, so kann man folgende Sachverhalte feststellen und definieren:

• Wird der Winkel Alpha größer (von 0° bis 90°), so wird auch das Verhältnis G:H größer, es erhält Werte von 0 bis 1.
• Wird der Winkel Alpha größer (von 0° bis 90°), so wird das Verhältnis A:H kleiner, es erhält Werte von 1 bis 0.
• Aufgrund des Satzes von Pythagoras gilt: (G:H)² + (A:H)² = 1.
• Wird der Winkel Alpha größer (von 0° bis 90°), so wird das Verhältnis von G:A größer, ist allerdings bei 90° nicht mehr definiert (da hier A=0).

Historisch hat sich die Verwendung genau dieser genannten Seitenverhältnisse durchgesetzt. Diese Seitenverhältnisse wurden folgendermaßen benannt: (a steht für Alpha)

G:H heißt Sinus von Alpha: sin(a),
A:H heißt Cosinus von Alpha: cos(a),
G:A heißt Tangens von Alpha: tan(a).

G:A als tan(a) beschreibt übrigens die Steigung einer Geraden.

Begriffe
G ist die Winkel a gegenüberliegende Seite, A die dem Winkel a anliegende Seite. H ist die Hypothenuse, die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Arbeitsanregung

1. Skizziere ein paar rechtwinkelige Dreieecke und benenne H, G, A und a. Gib an, welche Seitenverhältnisse Sinus, Cosinus und Tangens beschreiben!
2. Zeichne je ein rechtwinkeliges Dreieck mit H=10cm, H=5cm, H=3cm und Winkel a=30°. Berechne jeweils sin(a), cos(a) und tan(a) und beobachte, dass das Seitenverhältnis von der Länge der Hypothenuse abhängen.